はじめに
「つるとかめが合わせて何匹います。足の数を数えたら全部で何本でした。つるは何匹、かめは何匹でしょう？」
このような問題を見たことがありますか？
これは、小学校の算数で学ぶ「つるかめ算」という問題です。
つるは足が2本、かめは足が4本なので、全部の足の数が分かると、それぞれ何匹いるのかを求めることができます。
つるかめ算には、いくつかの解き方があります。
この記事では、その中でも少し発展的な方法として、
「方程式を使って、つるかめ算を解く方法」
を小学5年生にも分かるように、できるだけやさしく説明します。
そもそも「つるかめ算」って何？
つるかめ算とは、
- つると、かめが合わせて何匹いるか
- それぞれの足の数
- 全部の足の数
などが分かっているときに、
「つるは何匹？」「かめは何匹？」
を求める問題です。
たとえば、次の問題を考えてみましょう。
つるとかめが合わせて10匹います。
足の数を全部合わせると28本でした。
つるとかめは、それぞれ何匹いるでしょうか？
つるは2本足。
かめは4本足です。
そこで、
「10匹全部がつるだったら、足は何本？」
と考えてみます。
10匹 × 2本 ＝ 20本
でも、実際には28本あります。
28本 − 20本 ＝ 8本
8本多くなっています。
これは、つるの一部がかめになっているためです。
つる1匹をかめ1匹に変えると、足は、
4本 − 2本 ＝ 2本
増えます。
だから、
8 ÷ 2 ＝ 4
となり、かめは4匹。
そして、
10 − 4 ＝ 6
なので、つるは6匹です。
答え：つる6匹、かめ4匹
これが、つるかめ算の基本的な考え方です。
方程式って何？
ここからが本題です。
「方程式」という言葉を聞くと、難しそうに感じるかもしれません。
でも、考え方はそれほど難しくありません。
方程式とは、簡単にいうと、
「分からない数を□や文字にして、正しい式を作る方法」
です。
たとえば、
ある数に3を足すと10になります。
という問題なら、
□ ＋ 3 ＝ 10
と表せます。
□に入る数は、
10 − 3 ＝ 7
なので、
□ ＝ 7
です。
方程式では、この「分からない数」を「x（エックス）」などの文字で表します。
つるかめ算を方程式にしてみよう
先ほどの問題をもう一度見てみましょう。
つるとかめが合わせて10匹います。
足の数を全部合わせると28本でした。
つるとかめは、それぞれ何匹いるでしょうか？
ここで、
かめが何匹いるか分からない
とします。
そこで、
かめを x（エックス）匹
とします。
すると、つるの数はどうなるでしょう？
全部で10匹なので、
つるは「10 − x」匹
になります。
つまり、
- かめ → x匹
- つる → 10 − x匹
です。
足の数を式にしてみよう
かめは1匹につき4本の足があります。
かめはx匹なので、
4 × x ＝ 4x
本です。
一方、つるは10 − x匹です。
つるは1匹につき2本なので、
2 ×（10 − x）
本です。
全部の足は28本なので、
4x ＋ 2（10 − x）＝ 28
という式ができます。
これが、この問題の方程式です。
方程式を解いてみよう
では、
4x ＋ 2（10 − x）＝ 28
を解いてみましょう。
まず、かっこの中を計算します。
2（10 − x）
は、
20 − 2x
となります。
したがって、
4x ＋ 20 − 2x ＝ 28
です。
同じ種類のものをまとめると、
2x ＋ 20 ＝ 28
となります。
20を反対側に移すと、
2x ＝ 28 − 20
なので、
2x ＝ 8
です。
両方を2で割ると、
x ＝ 4
となります。
最初に、
「かめをx匹」
と決めていました。
だから、
かめは4匹
です。
そして、全部で10匹なので、
10 − 4 ＝ 6
となります。
したがって、
つるは6匹、かめは4匹
です。
答えを確かめてみよう
算数では、答えが出たら「本当に合っているかな？」と確かめることが大切です。
つるは6匹なので、
6 × 2 ＝ 12本
かめは4匹なので、
4 × 4 ＝ 16本
足を合わせると、
12 ＋ 16 ＝ 28本
になります。
問題に書いてあった足の数と同じです。
さらに、
6 ＋ 4 ＝ 10匹
なので、これも問題と同じです。
したがって、
答えは正しい！
と確認できます。
なぜ「x」を使うの？
ここで、
「どうしてxなんて使うの？」
と思う人もいるかもしれません。
xは、特別な数字ではありません。
「まだ分かっていない数」を表すための記号
です。
たとえば、
「りんごが何個あるか分からない」
なら、
りんごの数をx個とします。
「クラスに何人いるか分からない」
なら、
人数をx人とします。
つまり、
x＝分からない数
と考えれば大丈夫です。
つるかめ算を方程式で解く基本パターン
つるかめ算を方程式で解くときは、次の順番で考えると分かりやすくなります。
ステップ1 分からない方をxにする
たとえば、
かめをx匹
とします。
ステップ2 もう一方を「全部−x」にする
全部で10匹なら、
つるは10−x匹
です。
ステップ3 足の数をそれぞれ式にする
かめは4本足なので、
4x
つるは2本足なので、
2（10−x）
となります。
ステップ4 全部の足の数と同じにする
足が全部28本なら、
4x＋2（10−x）＝28
です。
ステップ5 方程式を解く
計算して、
x＝4
と求めます。
ステップ6 もう一方の数を求める
10−4＝6
なので、
つるは6匹です。
もう一つ問題を解いてみよう
それでは、別の問題に挑戦してみましょう。
つるとかめが合わせて15匹います。
足の数を全部合わせると44本でした。
つるとかめは、それぞれ何匹でしょう？
① かめをx匹とする
かめを、
x匹
とします。
すると、つるは、
15−x匹
です。
② 足の数を考える
かめは4本足なので、
4x
本です。
つるは2本足なので、
2（15−x）
本です。
全部で44本なので、
4x＋2（15−x）＝44
となります。
③ 方程式を解く
かっこを外します。
4x＋30−2x＝44
同じものをまとめます。
2x＋30＝44
30を引きます。
2x＝14
2で割ります。
x＝7
つまり、
かめは7匹
です。
つるは、
15−7＝8
なので、
つるは8匹
です。
④ 答えを確認する
つる：
8×2＝16本
かめ：
7×4＝28本
合わせると、
16＋28＝44本
です。
正解です！
答え：つる8匹、かめ7匹
方程式を使うと、つるかめ算がどう変わる？
つるかめ算には、昔から使われてきた「つるかめ算の考え方」があります。
一方、方程式では、
「分からない数をxにして、条件を式にする」
という考え方を使います。
たとえば、
つるかめ算の考え方
「全部つるだと考えて、そこからかめに変えていく」
という方法です。
方程式の考え方
「かめをx匹としたら、つるは10−x匹になる」
と考えて、式を作ります。
どちらも同じ問題を解いていますが、考え方が少し違います。
つるかめ算で大切なのは「差」
つるかめ算では、
つると、かめの足の数の差
が重要です。
つるは2本。
かめは4本。
その差は、
4−2＝2本
です。
つまり、
つる1匹をかめ1匹に変えると、足が2本増える
ことになります。
この「2本の差」が、つるかめ算を解くときの大切なポイントです。
方程式を作るときのコツ
方程式でつるかめ算を解くときには、次の3つを意識しましょう。
コツ① まず「何をxにするか」を決める
「かめをx匹にする」
など、自分が計算しやすい方を選びましょう。
コツ② 全部の数から引く
全部で10匹で、かめがx匹なら、
つるは10−x匹
です。
「全部−分かっていない方」
と覚えると便利です。
コツ③ 問題文の条件を式にする
「足が28本」という条件があるなら、
つるの足＋かめの足＝28
という式を作ります。
問題文をそのまま式に変えることがポイントです。
よくある間違い
間違い① つるを「10＋x」にしてしまう
全部で10匹で、かめがx匹なら、
つるは、
10−x
です。
「10＋x」ではありません。
間違い② かめの足を2xにしてしまう
かめは4本足です。
かめがx匹なら、
4x
です。
「2x」ではありません。
間違い③ 答えを確認しない
x＝4と出たら、それで終わりにするのではなく、
「本当にかめ4匹で、つる6匹になるかな？」
と確認しましょう。
答えを確認する習慣をつけると、計算ミスにも気づきやすくなります。
つるかめ算は、実は身近な問題にも使える！
つるかめ算は、つるとかめだけの問題ではありません。
たとえば、
- 2種類のチケット
- 大人と子どもの人数
- 100円と50円の硬貨
- 自転車と自動車
- 2種類の商品
など、
「2種類のものがあって、それぞれの数や合計が分かっている」
という問題にも似た考え方を使うことができます。
たとえば、
「50円玉と100円玉が合わせて10枚あり、合計金額が800円でした。それぞれ何枚？」
という問題も、つるかめ算と同じように考えられます。
つるかめ算と方程式の関係
ここまで勉強すると、
「つるかめ算と方程式は別のものなの？」
と思うかもしれません。
実は、深いところでは同じことを考えています。
つるかめ算では、
「全部をつるだと考えたらどうなる？」
というように、数の差を利用します。
方程式では、
「かめをx匹としたら、つるは10−x匹」
と文字を使って表します。
つまり、
同じ問題を、違う方法で表している
と考えると分かりやすいでしょう。
まとめ
今回は、つるかめ算を方程式で解く方法について勉強しました。
大切なポイントをまとめます。
つるかめ算を方程式で解く5つのポイント
- 分からない数をxにする
- もう一方の数を「全部−x」で表す
- それぞれの足の数を式にする
- 全部の足の数と同じになるように方程式を作る
- 答えが合っているか最後に確認する
最初は、
「xを使うのは難しそう」
と感じるかもしれません。
でも、
xは「まだ分からない数」に名前をつけているだけ
です。
「分からない数をxにする」
↓
「もう一方の数を全部−xにする」
↓
「問題文から式を作る」
という順番を覚えてしまえば、少しずつ簡単に感じられるようになります。
つるかめ算は、ただ答えを出すための計算ではありません。
「分かっていないことを文字で表して、条件から答えを見つける」
という、これからの算数・数学につながる大切な考え方です。
小学5年生のうちから、ぜひ「なぜこの式になるの？」と考えながら練習してみましょう。
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